AFRICA MATHEMATICS ANNALS

Localisation des duo-anneaux gradués et graduation des
modules de fractions sur des duo-anneaux gradués

Ahmed OULD CHBIH and Mohamed Ben Faraj BEN MAAOUIA
Université Gaston Berger, Saint-Louis (UGB), Sénégal

Mamadou SANGHARÉ
Université Cheikh Anta Diop, Dakar (UCAD), Sénégal

Mathematics Subject Classification: (2010)
Key words: Duo-ring, graded ring, multiplicatively closed subset of duo-ring generated by regular homogeneous elements, homogeneous localization

Abstract:

In this paper rings are with unity and modules are unitary.
It is known that in general the ring (resp. module) of fractions of a graded ring (resp. module) is not necessarily a graded ring (resp. module).
We show that :

• The ring of fractions of a graded duo-ring relatively to a multiplicatively closed subset generated by regular homogeneous elements is a graded ring.
• The module of fractions of module on a graded duo-ring relatively to a multiplicatively closed subset generated by regular homogeneous elements is a graded module.

It is known in general that the ring of fractions of a duo-ring relatively to a multiplicatively closed subset satisfying the left conditions of Ore of duo-ring is not a duo-ring when the ring of fractions of a graded duo-ring relatively to a multiplicatively closed subset satisfying the left conditions of Ore of ring is not a graded duo-ring and we show that :

• The ring of fractions of a duo-ring relatively to a multiplicatively closed subset generated by the regular central subset is a duo-ring.
• The ring of fractions of a graded duo-ring relatively to a multiplicatively closed homogeneous central subset is a graded duo-ring.
• If P is a prime ideal of a duo-ring A such as A\P is homogeneous and central, then the localization is local and graded duo-ring.

Finitely, we show that :If A = ⊕ _n∈ℤA_n is a graded duo-ring, P is a prime homogeneous ideal of A and S is the set of all homogeneous of A\P, then :

• Frac(A∕P) is a graded if, any element of ((A∕P)\0) is homogeneous.
• Frac(A∕P)A_PH∕P_PH if A is a domain and any element of A\P is homogeneous.

Résumé:

Dans ce papier les anneaux sont supposés unitaires et les modules unifères.
On sait qu’en général l’anneau (resp. module) des fractions d’un anneau (resp. module) gradué n’est pas un anneau (resp. module) gradué.
Nous montrons que :

• L’anneau de fractions d’un duo-anneau gradué par rapport à une partie multiplicative saturée engendrée par des éléments réguliers homogènes est un anneau gradué.
• Le module de fractions d’un module gradué sur un duo-anneau gradué par rapport à une partie multiplicative saturée engendrée par des éléments réguliers homogènes est un module gradué.

On sait que l’anneau de fractions d’un duo-anneau par rapport à une partie multiplicative saturée vérifiant les conditions de Ore à gauche d’un duo-anneau n’est pas en général un duo-anneau donc l’anneau de fractions d’un duo-anneau gradué par rapport à une partie multiplicative saturée vérifiant les conditions de Ore à gauche d’un duo-anneau gradué n’est pas en général un duo-anneau gradué. Nous montrons que :

• L’anneau de fractions d’un duo-anneau par rapport à une partie multiplicative saturée engendrée par des éléments réguliers du centre d’un duo-anneau est un duo-anneau.
• L’anneau de fractions d’un duo-anneau gradué par rapport à une partie multiplicative saturée homogène centrale d’un duo-anneau gradué est un duo-anneau gradué.
• Si P est un idéal premier d’un duo-anneau A tel que A\P est homogène centrale, alors le localisé est duo-anneau gradué local.

Enfin, on montre que : Si A = ⊕ _n∈ℤA_n est un duo-anneau gradué, P un idéal premier homogène de A, alors :

• Frac(A∕P) est gradué si, tout élément de ((A∕P)\0) est homogène.
• Frac(A∕P)A_PH∕P_PH si A est intègre et tout élément de A\P est homogène.

   
  

Mots clés : Duo-anneau, anneau gradué, module gradué, centre de A, partie multiplicative saturée engendrée par des éléments réguliers, localisé homogène.